Archiv für den Tag: 7. Oktober 2026

Degration, Beugung und Defokussierung (Teil I: Strahlenmodell)

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Einleitung

Jedes bei einem Bilderzeugungsprozess verwendete Gerät und jeder Vorgang an einem Bild hat, unabhängig von der Qualität der Komponente oder der Sorgfalt, mit welcher der Vorgang ausgeführt wird, einen beeinträchtigenden Einfluss auf die Bildqualität 1. Aus den in vielen Fotografieanleitungen angegebenen Formeln zur Schärfentiefe könnte man jedoch schließen, dass die Schärfentiefe von Beugung, Konstruktionsfehlern usw. überhaupt nicht beeinflusst wird. Die gängigen Formeln ignorieren diese Einflüsse und gehen davon aus, dass die Abbildung geometrisch exakt durch gerade Linien definiert ist und ein punktförmige Ergebnis hat. Diese Formeln erleichtern zwar die Berechnungen erheblich, beschreiben aber nicht genau, wie Bilder entstehenden. Meist erfolgt in den Büchern lediglich ein Hinweis auf den störenden Einfluss der Beugung, verbunden mit dem Rat, nicht so stark abzublenden und im Zweifel Focusstacking zu betreiben. Der Rat ist zwar nicht schlecht, lässt aber den Fotografen im Unklaren, was er denn genau tun sollte, um das gewünschte Bildergebnis zu erhalten.

Basis der im Teil I folgenden Betrachtungen ist das Gauß‘sche Strahlenmodell in Verbindung mit der sog. Airy-Scheibe 2 zur Berücksichtigung der Lichtbeugung. Im Teil II diese Artikels erfolgt dann eine Erweiterung mit einem Wellenfrontmodell und im Teil III wird die Anwendung in der Fotopraxis beschrieben.

Degration

Grundlage für die Einbeziehung der Beugung in die allgemein bekannten Formeln zur Schärfentiefe ist das sogenannte Degrationsmodell 13.

Dieses Modell beschreibt, weshalb das Bild eines infinitesimalen Punktes als Fleck endlicher Größe reproduziert wird. Es berücksichtigt die unterschiedlichen Einflüsse, welche eine Verschlechterung der Abbildungsqualität bewirken, jeweils durch einzelne Streufunktionen (S_n), auch Point Spread Functions (PSF) genannt. Die Art und Weise, wie verschiedene Streufunktionen S_n im Hinblick auf das Bildergebnis zusammenwirken, wird dann mit der sogenannten Degrationsformel vorhergesagt:

S^2 = \sum_{n=0}^N S_n^2.\qquad (1)

Es ist eine empirische Formel, die mathematisch auf der Faltung symmetrischer und unabhängiger Streufunktionen mit bekannten Verteilungen basiert.

Streufunktionen für Defokussierung und Beugung

Beschreibung

Die Streufunktionen S_n beschreiben jeweils die theoretische Helligkeitsverteilung einer Punktabbildung. Als charakteristische Größe für die Anwendung in der Degrationsformel(1) wird die Varianz der Streufunktion benutzt. Im Folgenden werden die Varianzen für die Defokussierung und die Beugung sowie ihre Anwendung mit der Degrationsformel darstellt. Die Ableitung der Formeln für die Varianzen erfolgt zur besseren Übersicht im Anhang dieses Artikels.

Defokussierung

Wenn eine punktförmige Lichtquelle sich im Abstand D vor dem Objektiv befindet, dies aber auf eine andere Entfernung g eingestellt ist, erscheint die Abbildung des Punktes nach den (vereinfachenden) Gesetzen der Strahlenoptik als gleichmäßig helle Kreisscheibe mit dem Radius:

R_{Defokus} \approx \frac{f^2}{2\ k}\cdot \Big|\frac{1}{g}-\frac{1}{D}\Big| \qquad (2)

Die Varianz der Streufunktion ist dann gegeben durch (siehe Anhang):

S_{Defokus}^2 = \sigma_{Defokus}^2 = \frac{R_{Defokus}}{18}\qquad (3)

Beugung

Wenn eine punktförmige Lichtquelle sich im Abstand g vor dem Objektiv befindet und das Objektiv genau auf diese Entfernung eingestellt ist, erscheint die Abbildung dieses Punktes als unregelmäßiger „Fleck“ auf dem Bild. Bei einem idealen Fotografiesystem ohne Fehler wäre das Bild eine sogenannte Airy-Scheibe 2, d.h. eine Helligkeitsverteilung, die aus abwechselnden konzentrischen hellen und dunklen Ringen besteht, wobei die Helligkeit der Ringe mit zunehmendem Abstand vom Zentrum sehr stark abnimmt. Daher hat es sich in der Praxis als ausreichend erwiesen, die Airy-Scheibe durch die innerste helle Kreisfläche zu beschreiben. Der Radius dieser Kreisfläche ist:

R_{Airy}\approx 1,22 \cdot \lambda\cdot k\qquad (4)

wobei \lambda die Wellenlänge des Lichts, meist mit 550 nm angesetzt, und k die Blendenzahl sind.

Die Varianz dieser Verteilung ist (siehe Anhang):

S_{Airy}^2 = \sigma_{Airy}^2 \approx 0,035434 \cdot R_{Airy}^2 \qquad (5)

Degration

Man erhält aus der Degrationsformel (1):

S^2 = \sigma_{Defokus}^2 + \sigma_{Airy}^2 = \frac{R_Z^2}{18} = \frac{R_{Defokus}^2}{18} + 0,035434 \cdot R_{Airy}^2 \qquad (6)

und nach der Multiplikation mit 18 daraus die Formel für den Radius des Zerstreuungskreises einer Punktabbildung bei Defokussierung und Beugung:

R_Z \approx \sqrt{R_{Defokus}^2 + (0,8 \cdot R_{Airy})^2}\qquad (7)

Wenn man mit diesem Wert und den üblichen Formeln für die Schärfentiefe weiterrechnet, wird m.E. der Einfluss der Beugung für die Praxis ausreichend genau berücksichtigt.

Anwendung der Degressionsformel

Die Wahl der Kameraeinstellungen (f,k,g) bei einer gewünschten Schärfentiefe ( T = D_{Fern}-D_{Nah} ) basiert auf der Vorgabe des akzeptierten Radius des Zerstreuungskreises R_{Zmax} durch den Fotografen. Diese Vorgabe liegt bei Aufnahmen mit Digitalkameras üblicherweise zwischen dem Pixelabstand auf dem Sensor als Auflösungsgrenze des Sensors und einem 3000stel der Sensordiagonale. In dem Artikel „Schärfentiefe und Bokeh“4 wird jedoch ein Radius, der kleiner ist als ein 6000stel der Sensordiagonale nicht mehr als sinnvoll angesehen. Für einen 24 Megapixel APS-C Sensor ergibt dies beispielsweise einen Bereich von ca. 5 μm bis ca. 10 μm.

Die Formeln (2, 4, 7) können dann je nach Aufgabenstellung des Fotografen nach der gesuchten Größe zusammengestellt und aufgelöst werden, um die Schärfeanforderungen aus Degration und Beugung zu erfüllen. (Natürlich sind zusätzlich alle anderen Einflüsse der Degration, wie Verwackelungs- und Bewegungsunschärfe ebenfalls zu minimieren.)

Meist sind f, g, D vorgegeben und die Blende k wird gesucht. Dabei ist es praktisch, zwei weitere Blendenwerte zu definieren 3. Aus der Formel (2) ergibt sich als zulässiger Blendenwert ohne Berücksichtigung der Beugung:

k_D\approx\frac{f^2}{2\ R_{max}}|\frac{1}{g}-\frac{1}{D}|\qquad (8)

Als weiteren charakteristischen Blendenwert ergibt sich für den Fokuspunkt:

k_F=R_{max} / (0,8\cdot 1,22\cdot\lambda)\approx 1,87\ \mu m^{-1}\cdot R_{max}\qquad (9)

Setzt man nun die Formeln (8) und (9) in die Formel (7) ein und löst diese nach der gesuchten Blende k auf, erhält man:

k=\frac{k_F}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{1-\sqrt{1-4\Big(\frac{k_D}{k_F}\Big)^2}}\qquad (10)

Weiterhin folgt aus der Formel (10), dass diese nur eine reelle Lösung hat, wenn gilt:

k_F \geqq 2\cdot k_D \qquad (11)

sonst ist die Bedingung R_Z\leqq R_{max} in dem gewünschten Entfernungs-bereich zwischen D und g nicht einhaltbar.

Ein Beispiel:

Gegeben ist ein APS C-Sensor mit 24 Megapixeln. Der gewählte zulässige Radius des Zerstreuungskreises sei ein 3000stel der Sensordiagonale R_{max} = 28,2 mm/3000 = 9,4 μm. Das Objektiv mit der Brennweite f = 35 mm sei auf eine Entfernung von g = 5 m scharf gestellt.

Gesucht ist die erforderliche Blendeneinstellung, damit ein Objekt in D_{Nah}=D = 3 m Entfernung noch scharf genug abgebildet wird.

Aus der Formel (8) ergibt sich als zulässiger Blendenwert ohne Berücksichtigung der Beugung k_D\approx 8.7 .

Als weiterer charakteristischer Blendenwert ergibt sich für den Fokuspunkt aus der Formel (9): k_F\approx 17.6 .

Und man erhält schließlich mit der Formel (10) für die gesuchte Blende den Wert k\approx 11,5 .

Dieses Beispiel zeigt, dass die Blende aus der üblichen Formel (8) von 8,7 auf 11,5 erhöht werden muss, um die gewählte Anforderung für den Unschärfekreis einzuhalten. Andererseits ergibt sich aus der Formel (9) auch, welche Unschärfe im Fokuspunkt herrscht, nämlich entsprechend einer Airy_Scheibe mit R = 11,5/1,87 μm = 6,15 μm.

Modellbeschränkungen

Das Strahlenmodell geht von gleichmäßig hellen kreisförmigen defokussierten Punktabbildern aus. Realistischere Punktabbilder erhält man mit Modellen, die von der Wellennatur des Lichts ausgehen und Beugung und Defokussierung mit einer einheitlichen Theorie beschreiben. Im Teil II dieses Artikels wird daher ergänzend ein Wellenfrontmodell untersucht und mit dem „Degrationsmodell“ verglichen.

Anhang: Berechnung der Erwartungswerte und Varianzen

Das defokussierte Abbild eines Punktes wird im Strahlenmodell durch die Funktion f(r) beschrieben:

f(r) = 1, wenn r <= R_B und 0 sonst. (A1)

wobei R_B der äußere Radius des Abbildes ist. Die dazugehörige Vertei-lungsdichtefunktion $h_B(r)$ ergibt sich im Polarsystem (r, \theta )durch die Normierung dieser Funktion mit dem Integral:

I=\int \limits_0^{2 \pi} {\int \limits_{0}^{\infty} f(r)\cdot r \, d r } \, d \theta\qquad (A2)

mit

h_B(r) = \frac{f(r)}{2\pi\cdot\int \limits_{0}^{\infty} f(r)\cdot r \, d r } = \frac{f(r)}{\pi R_B^2}\qquad (A3)

Die Normierung berücksichtigt, dass es sich bei f(r) um eine rotationssymmetrische Verteilungsfunktion handelt und das entsprechende Integral über die Verteilungsfunktion h_B(r) den für Verteilungsdichtefunktionen geforderten Wert Eins ergibt.

Damit stellt h_B(r) die PSF der Funktion f(r) dar.

Der Erwartungswert E der Funktion h_B(r) wird dann nach folgender Formel berechnet:

E =2\pi\int\limits_{0}^{\infty} h_B(r)\cdot r^2 \, d r\qquad (A4)

und es ergibt sich in diesem Fall:

E_B =2\pi\int\limits_{0}^{R_B}\frac {r^2}{\pi R_B^2} \, d r = \frac{2}{3} R_B \qquad (A5)

Die Varianz dieser Funktion ergibt sich nun aus:

\sigma^2 =2\pi\int\limits_{0}^{\infty} h_B(r)\cdot r^3 \, d r - E^2\qquad (A6)

also

\sigma_B^2 =2\pi\int \limits_{0}^{R_B} \frac{r^3}{\pi R_B^2} \, d r - E_B^2 = \frac{2 \pi \ R_B^4}{4\pi R_B^2}-\frac{4}{9}R_B^2=\frac{R_B^2}{18}\qquad (A7).

Für die Beugung ist anstelle der obigen Funktion f(r) die Helligkeits-verteilung der Airy-Scheibe f_A(r) 2 anzusetzen:

f_A(r) =\big[\frac{J_1(\pi r)}{\pi r}\big]^2\qquad (A8)

mit der Normierung r= \frac{R}{\lambda k}, R dem Radius in der Aperturebene und k der Blendenzahl.

Bei der Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz wird nur der Bereich bis zur ersten Nullstelle r_0 der Besselfunktion J_1(\pi r) betrachtet, d.h. J_1(\pi r_0) = 0 und r_0 \approx 1,22. Die sich daraus ergebenden Integrale sind analytisch (z.B. mit Hilfe von SymPy 5) lösbar, die entsprechende „Bandwurmformel“ führe ich hier jedoch nicht auf. Die numerische Berechnung z.B. mit der Trapezformel führt allerdings auf die gleichen Zahlenergebnisse. Die Resultate sind:

E_r \approx 0,4851 und \sigma_r^2 \approx 0,05274 \qquad (A9)

Wegen R = r\ \lambda \ k ergibt sich daraus die Varianz:

\sigma_{Airy}^2 = \sigma_r^2\cdot \frac{R_{Airy}^2}{(1,22)^2} = R_{Airy}^2 \cdot\frac{0,05274}{(1,22)^2}=035434 \cdot R_{Airy}^2 \qquad (A10)

  1. John B. Williams, Image Clarity,Focal Press 1990, ISBN 0-240-80033-8
  2. https://de.wikipedia.org/wiki/Beugungsscheibchen
  3. Martin Messmer, Fotografie Theorie,Frieden-Verlag CH-Stäfa 2022,ISBN: 978-3-906322-60-5
  4. H.H. Nasse, Schärfentiefe und Bokeh, Carl Zeiss, Geschäftsbereich Photo-Objektive, März 2010
  5. Python, Symbolic Algebra System, http://www.sympy.org